Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]

Задача 73551

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Если многочлен с целыми коэффициентами при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет ни одного целого корня. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107863

Темы:	[	Разложение на множители	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Произволов В.В.

Числа x, y, z удовлетворяют равенству x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½. Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67314

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Д.Ю.

Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?

Прислать комментарий Решение

Задача 111342

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Малкин М.И.

k ≥ 6 – натуральное число. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до k – 1, то эти значения равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61064

Темы:	[	Системы линейных уравнений	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Рациональные функции (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Решите систему

(a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n – различные числа.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 57]