ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 111826  (#07.5.11.1)

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что при k>10 в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2k x

можно заменить один cos на sin так, что получится функция f1(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f1(x)| .
Прислать комментарий     Решение

Задача 111827  (#07.5.11.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Отрезок AA1 вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A1C1 и A1B1 пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что  ∠PQR = ∠B1QC1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111837  (#07.5.11.3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Деление с остатком ]
[ Правило произведения ]
[ Кооперативные алгоритмы ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111829  (#07.5.11.4)

Темы:   [ Метод спуска ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности  (xn)  первый член x1 – рациональное число, большее 1, и  xn+1 = xn + 1/[xn]  при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111846  (#07.5.11.5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Петров Ф.

В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .