ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



Задача 111855  (#07.5.8.6)

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что  ∠ILA = ∠IMB,  ∠IKC = ∠INB.  Докажите, что
AM + KL + CN = AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111856  (#07.5.8.7)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Для натурального  n > 3  будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение  n? = 2n + 16.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111857  (#07.5.8.8)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111842  (#07.5.9.1)

Темы:   [ Итерации ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения  f(g(x)) = 0  и  g(f(x)) = 0  не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений  f(f(x)) = 0  и  g(g(x)) = 0  тоже не имеет вещественных корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111843  (#07.5.9.2)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .