ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 108147  (#00.5.10.3)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла между высотами AA1 и CC1 пересекает стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Биссектриса угла B пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр H треугольника ABC с серединой M стороны AC в точке R. Докажите, что точки P, B, Q и R лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109718  (#00.5.10.4)

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Математическая логика (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Имеются пять внешне одинаковых гирь с попарно различными массами. Разрешается выбрать любые три из них A, B и C и спросить, верно ли, что
m(A) < m(B) < m(C)  (через m(x) обозначена масса гири x). При этом даётся ответ "Да" или "Нет". Можно ли за девять вопросов гарантированно узнать, в каком порядке идут веса гирь?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109719  (#00.5.10.5)

Темы:   [ Необычные конструкции ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M . Какое наибольшее число элементов может быть в M ?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109720  (#00.5.10.6)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Храбров А.

Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108148  (#00.5.10.7)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку N . Окружности, описанные около треугольников BQK и BPM , пересекаются в точке B1 . Докажите, что BPB1Q – параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .