Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]

Задача 61443 (#11.016)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Производная (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Экспонентой y = e^x называется такая функция, для которой выполнены условия y'(x) = y(x) и y(0) = 1. Какая последовательность {a_n} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор $\Delta$ ?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61444 (#11.017)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Интегрирование по частям	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:

$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$ f (x)g(x) = f (n) $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$ g(x) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$ ( $\displaystyle \Delta$ f (x) $\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$ g(z)),

$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$ f (x) $\displaystyle \Delta$ g(x) = f (n)g(n) - f (0)g(0) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$ g(x + 1) $\displaystyle \Delta$ f (x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61445 (#11.018)

Тема:

[

Суммы числовых последовательностей и ряды разностей

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Найдите последовательность {a_n} такую, что $\Delta$ a_n = n2ⁿ. (Вспомните как вычисляют $\int$ xe^x dx.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61446 (#11.019)

Тема:

[

Суммы числовых последовательностей и ряды разностей

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Найдите :

а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{1}{k(k+1)}}$ ;	д) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$ ;
б) $\sum\limits_{k=2}^{n}$ ${\dfrac{1}{k^2-1}}$ ;	е) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{k-1}{k!}}$ ;
в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$ ;	ж) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k! k.
г) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{(k-1)\,2^k}{k(k+1)}}$ ;

Прислать комментарий

Решение

Задача 61447 (#11.020)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы:
а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k²q^{k - 1};
б) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k sin kx;
в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k²cos kx.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]