Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 7 >> [Всего задач: 33]
Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB > BC. Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что OR⊥TC, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Дан треугольник ABC. Проведены высота AH и медиана CM. Обозначим точку их пересечения через P. Высота, проведённая из вершины B треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки H на прямую CM, в точке Q. Докажите, что прямые CQ и BP перпендикулярны.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 7 >> [Всего задач: 33]
Все авторы
>>
Ивлев Ф. 
