Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 36]
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.
При какой перестановке a1, a2, ...,
a2011 чисел 1, 2, ..., 2011 значение выражения
будет наибольшим?
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает
n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (
n+1)
2 попыток?
|
|
Сложность: 7- Классы: 10,11
|
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем
, б) не меньше, чем
, в)
не меньше, чем
?
|
|
Сложность: 7 Классы: 10,11
|
Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника,
причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей
длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в
каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.
а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только
из этой бойницы, надежна?
б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы
больше 1/2.
в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система
бойниц с суммарной длиной, меньшей s.
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7
8 >> [Всего задач: 36]