ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Емельянова Т.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



Задача 115351

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M – проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM – прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116631

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116647

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На стороне BC параллелограмма ABCD  (∠A < 90°)  отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O1, O2 и O3 – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O1O2O3 лежит на прямой AD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108221

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108142

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Теорема синусов ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 [Всего задач: 10]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .