ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Канель-Белов А.Я.

Алексей Яковлевич Канель-Белов (род. 1963) - известный российский математик, педагог и составитель олимпиадных задач. Доктор физико-математических наук, профессор МИОО и Бар-Иланского университета.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 101]      



Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий     Решение

Задача 107999

Темы:   [ Итерации ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разрывы функций ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

а) Известно, что область определения функции  f(x)  – отрезок  [–1, 1]  и  f(f(x)) = – x  при всех x, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции f(x).

б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108155

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательная окружность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Окружность S1, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S2, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S1 вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S3 с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109562

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Функции  f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар  (x, y),  для которых
f(x) = g(y),  через n – число пар, для которых  f(x) = f(y),  а через k – число пар, для которых g(x) = g(y).  Докажите, что  2m ≤ n + k.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109702

Темы:   [ Формула включения-исключения ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Процессы и операции ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Отношение порядка ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 101]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .