Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107771

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого  k > 1  найдётся такая степень двойки, что среди k последних её цифр не менее половины составляют девятки.
(Например,  2¹² = ...96,  2⁵³ = ...992.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57075

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Раскраски ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9

Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57926

Темы:   [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73714

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Итерации ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Признаки подобия ] [ Сжимающие отображения и неподвижные точки ] [ Композиции движений. Теорема Шаля ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T₁ был остроугольным?
  б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
  в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73545

Темы:   [ Покрытия ] [ Теорема Хелли ] [ Общие четырехугольники ] [ Перпендикуляр и наклонная ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями