ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Богданов И.И.

Илья Игоревич Богданов - доцент Московского физико-технического института, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 177]      



Задача 116579

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116584

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Числа a и b таковы, что   a³ – b³ = 2,  a5b5 ≥ 4.   Докажите, что  a² + b² ≥ 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116634

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Для некоторых 2011 натуральных чисел выписали на доску все их 2011·1005 попарных сумм.
Могло ли оказаться, что ровно треть выписанных сумм делится на 3, и ещё ровно треть из них дают остаток 1 при делении на 3?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116639

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Предел функции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a1x + b1x² + a2x + b2,  ...,  x² + a9x + b9. Известно, что последовательности  a1, a2, ..., a9  и  b1, b2, ..., b9  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116759

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 177]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .