Задача 1

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.

Задача 2

В Мехико для ограничения транспортного потока для каждой частной автомашины устанавливаются два дня недели, в которые она не может выезжать на улицы города. Семье требуется каждый день иметь в распоряжении не менее 10 машин. Каким наименьшим количеством машин может обойтись семья, если ее члены могут сами выбирать запрещенные дни для своих автомобилей?

Задача 3

11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

Задача 4

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S(a + b)(c + d ).

Задача 5

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на дву тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?