Задача 98592

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Певзнер И.

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

Решение

Уменьшим окружность в 25 раз. Пусть a_k – k-я сторона, а L_k – длина соответствующей дуги (мы нумеруем по кругу и допускаем номера  k > 50,  подразумевая в таком случае a_k–50 вместо a_k и т. п.). Стороны a_k и a_k+25 параллельны, когда заключенные между ними дуги равны, то есть когда число
S_k = (L_k+1 + L_k+2 + ... + L_k+24) – (L_k+26 + L_k+27 + ... + L_k+49)  равно нулю. Число S_k чётно, как сумма 24 разностей  L_k+1 – L_k+26,  L_k+2 – L_k+27,  ...,  равных ±1. Разность соседей  S_k+1 – S_k = (L_k+25 – L_k) + (L_k+26 – L_k+1)  может принимать значения 0 и ±2. Очевидно,  S₂₆ = – S₁.  Поэтому, где-то между S₁ и S₂₆ число S_k обращается в нуль, что и требовалось.

Замечания

1. Длины дуг в условии несущественны, важно только равенство их разностей.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3