Задача 98555

Темы:    [ Параллельный перенос (прочее) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Черепанов Е.

На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
  а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?
  б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

Решение

  а) Таким, например, является треугольник с вершинами в точках  (0, 0),  (⁴/₃, ⅔)  и  (⅔, ⁴/₃)  (см. рис.). Легко видеть, что стороны сдвинутых треугольников проходят через вершины исходного и что площадь треугольника равна ⅔.

  б) Лемма. Если многоугольник можно переносить на целочисленный вектор без самопересечений, то его площадь не больше 1.
  Доказательство. Разрежем плоскость на единичные квадраты линиями координатной сетки. Наш многоугольник разрежется на несколько частей. Переведём все эти части (сдвигом на целочисленный вектор) в один квадрат. По условию, полученные фигуры не пересекаются, значит, их суммарная площадь не больше 1.

  Пусть ABC – треугольник, удовлетворяющий условиям задачи. Обозначим через A₁, B₁ и C₁ соответственно середины сторон BC, CA и AB. Построим шестиугольник AC₁A₁CDE, где точки D и E получены отражением точек C₁ и A₁ относительно точки B₁ (см. рис.). Докажем, что этот шестиугольник можно переносить на целочисленный вектор без самопересечений.

  Предположим противное: наш шестиугольник при переносе на некоторый целочисленный вектор накладывается на себя. Рассмотрим точку X шестиугольника, которая при этом движении попадает в точку Y, лежащую внутри шестиугольника. Если соединить точку B₁ со всеми вершинами шестиугольника, то получим шесть маленьких треугольничков.
  Заметим, что точки X и Y находятся в противоположных (центрально симметричных относительно B₁) треугольничках. Действительно любые другие два треугольничка можно поместить в один большой треугольник, равный ABC (совпадающий с ABC, центрально симметричный ABC или полученный из одного из них переносом на некоторый вектор). Такой треугольник, очевидно, также удовлетворяет условиям задачи и, следовательно, не может содержать “плохих” точек X и Y.
  Пусть, например, точка X лежит в треугольничке C₁A₁B₁, a Y – в треугольничке B₁DE. Сдвинем треугольник ABC так, чтобы он наложился на трапецию AC₁DE. Теперь начнём его двигать параллельно ED до тех пор, пока не покроем трапецию A₁CDE. Поскольку при этом в каждый момент он целиком содержит треугольничек B₁DE и полностью "заметает" треугольничек C₁A₁B₁, то наступит момент, когда треугольник будет накрывать как точку X, так и точку Y. Но и этот треугольник удовлетворяет условиям задачи. Противоречие.
  По лемме площадь шестиугольника (равная  1,5 S_ABC)  не больше 1. Следовательно,  S_ABC ≤ ⅔.  Пример построен в a).

Ответ

а) Может;  б) ⅔.

Замечания

баллы: 3 + 6

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	7