|
|
 |
Условие
Высотой пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а медианой – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.
Решение
Обозначим наш пятиугольник ABCDE. В треугольнике ABD длина медианы, проведённой из вершины D, равна длине высоты, опущенной из этой же вершины. Значит, они совпадают, и треугольник равнобедренный (AD = BD). Аналогично доказывается равенство всех диагоналей пятиугольника.
Треугольники ADB и CAD равны, как равнобедренные с равными боковыми сторонами и высотами, проведёнными к основанию. Поэтому AB = CD. Так же доказывается равенство всех сторон пятиугольника. Равенство его углов следует из равенства (по трём сторонам) треугольников ABC, BCD, CDE, EDA и DAB.
Замечания
4 балла
