|
|
 |
Условие
Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей. Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7.)
Решение
Покажем, что кости можно повернуть так, что на верхних гранях образуется число вида abcabc Такое число делится на 1001 = 7·143.
Рассмотрим цифры, написанные на “свободных” гранях первой и четвёртой костей. Поскольку всего этих цифр 8, а каждая из них не больше 6, среди них найдутся две одинаковых. Выставим их наверх. Теперь повторим это рассуждение для второй и пятой, а затем для третьей и шестой костей.
Замечания
1. Условие о сумме цифр на противоположных гранях несущественно и в решении не использовалось.
2. Нетрудно показать, что, вращая две соседние кости, мы можем получить двузначное число, кратное 7. Состыковав три таких числа, мы получим кратное 7 шестизначное число.
3. На самом деле, для достижения цели вовсе не надо вращать все кости, можно обойтись любыми двумя. Покажем, например, как ограничиться второй и пятой костями. Поставив пока на указанных местах нули, получим число M = a0bc0d. Пусть r – его остаток от деления на 7. Выставляя значение на пятой кости, мы увеличим M на одно из чисел 10, 20, 30, 40, 50 или 60 (на самом деле могут реализоваться только четыре из этих шести "добавок"). Остатки от деления этих чисел на 7 различны (их попарные разности не делятся на 7). Вторая кость также добавляет одно из четырёх чисел с разными остатками. Покажем, что можно подобрать пару добавок так, чтобы их сумма с М делилась на 7. Рассмотрим 7 сумм остатков, сравнимых с 7 – r по модулю 7: 0 + s0, 1 + s1, ..., 6 + s6 (0 ≤ si ≤ 6). Отметим четыре первых слагаемых, соответствующих четырём возможным положениям второй кости, и четыре вторых слагаемых, соответствующих возможным положениям пятой кости. Мы отметили 8 слагаемых, а сумм только 7. Значит, в одной из сумм отмечены оба слагаемых. Повернём кости так, чтобы именно эту сумму реализовать.
4. 4 балла.
