ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98330
Темы:    [ Итерации ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  y = f(x),  для которой  f(f(x)) = x² – 1996  при всех x.


Решение

  Обозначим  P(x) = x² – 1996.  Пусть x1, x2 – корни квадратного уравнения P(x) = x.
  Заметим, что уравнение  P(P(x)) = x  имеет четыре различных действительных корня. Действительно,
   P(P(x)) – x = (x² – 1996)² – 1996 – x = (x² – 1996)² – x² + (x² – x – 1996) =
      = (x² + x – 1996)(x² – x – 1996) + (x² – x – 1996) = (x² + x – 1995)(x² – x – 1996).
Обозначим эти корни через x1, x2, x3, x4 (x1, x2 – те же, а x3, x4 – корни уравнения  x² + x – 1995 = 0;  заметим, что  x3 + x4 = –1,  а  P(x3) = –x3 – 1 = x4).
  Предположим, что требуемая функция  f(x) существует. Тогда  P(P(f(x3))) = f(f(f(f(f(x3))))) = f(P(P(x3))) = f(x3),  то есть число  f(x3) тоже является корнем уравнения  P(P(x)) = x.
  f(x3) ≠ x3, так как иначе  P(x3) = f(f(x3)) = f(x3) = x3,  а на самом деле  P(x3) = x4.
  f(x3) ≠ x4,  иначе  x4 = P(x3) = f(f(x3)) = f(x4),  что невозможно в силу равноправия x3 и x4.
  Так что  f(x3) = x1  или  f(x3) = x2,  но это тоже невозможно: если например,  f(x3) = x1,  то
x4 = P(x3) = f(f(x3)) = f(x1) = f(P(x1)) = f(P(f(x3))) = f(f(f(f(x3)))) = x3,  а это неверно.
  Таким образом,  f(x3), являясь корнем уравнения  P(P(x)) = x,  отлично от всех четырёх его корней. Противоречие.

Замечания

10 баллов

  Идеология. 1. Догадаться, что  P(P(x)) – x  делится на  P(x) – x  можно следующим образом: корни x1, x2 уравнения  P(x) = x  являются и корнями уравнения  P(P(x)) = x,  и по теореме Безу  P(P(x)) – x  делится на  (x – x1)(xx2) = P(x) – x.
  2. x1, x2неподвижные точки функции P, а x3, x4 – её точки периода 2. Подробнее о связи этих понятий с нашей задачей см. в решениях Задачника Кванта.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1997
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М1578
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 18
Дата 1996/1997
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .