Задача 98313

Темы:    [ Тождественные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Условие

Автор: Фольклор

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

Решение

Обозначим 10 последовательных чисел через  n – 9, ..., n – 1,  n.  По условию
  (n – 9)² + ... + (n – 1)² + n² = (n + 1)² + ... + (n + 9)²,
  n² = (n + 9)² – (n – 9)² + ... + (n + 1)² – (n – 1)² = 2n·(18 + 16 + ... + 2) = 180n.
Отсюда  n = 180,  то есть  171² + ... + 180² = 181² + ... + 189².

Ответ

Можно.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1