Задача 98296

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Теорема косинусов ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Бугаенко В.О., Егоров А.А.

Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Решение 1

Отложим на сторонах угла 60° с вершиной O отрезки  OA = a  и  OB = b.  По теореме косинусов и в силу равенства  a² + b² – ab = c²  длина отрезка AB равна c. Так как в треугольнике OAB угол при вершине O средний по величине, то и сторона c средняя, то есть либо  b ≤ c ≤ a,  либо  a ≤ c ≤ b.  В обоих случаях  (a – c)(b – c) ≤ 0.

Решение 2

Данное равенство можно записать как в виде  (a – c)(a + c) = b(a – b),  так и в виде  (b – c)(b + c) = ac(b – a).  Перемножив, получим
(a – c)(b – c)(a + c)(b + c) = – ab(a – b)².  Правая часть, очевидно, неположительна, а множитель  (a + c)(b + c)  в левой части положителен. Следовательно,  (a – c)(b – c) ≥ 0.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	10
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	11
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	1