ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98221
Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Уравнения с модулями ]
[ Обратный ход ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шабат Г.Б.

{an} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за x идёт  1 – |1 – 2x|.
  а) Докажите, что если a1 рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
  б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то a1 рационально.


Решение

а) Если a1 рационально, то все an рациональны, причём со знаменателем не бoльшим, чем у a1. Но положительных дробей со знаменателями, не бoльшим заданной величины, конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента начнётся период.

б) Допустим, что  an+k = an.  Раскрывая знак модуля, получим либо  an+1 = 2an,  либо  an+1 = 2 – 2an. Поэтому  an+k = u + van,  где где u, v – целые числа и
v ≠ 1.  Получаем линейное уравнение с целыми коэффициентами  an = u + van,  откуда видно, что an рационально. Аналогично an линейно выражается через a1, поэтому и a1 рационально.

Замечания

1. Баллы: 2 + 2.

2. См. также задачу 98215.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .