Задача 98204
|
|
 |
Условие
Известно, что уравнение x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 имеет действительный корень. Докажите неравенство a² + b² ≥ 8.
Решение 1
Предположим, что a² + b² < 8. Тогда согласно неравенству Коши – Буняковского (см. задачу 61402)
Следовательно, x4 + ax³ + 2x² + bx + 1 > Противоречие.
Решение 2
Пусть t – корень уравнения. Тогда 0 = t4 + at³ + 2t² + bt + 1 = t²(t + a/2)² + (1 + bt/2)² + t²(2 – a²+b²/4). Поскольку t ≠ 0, то a²+b²/4 < 2.
Замечания
8 баллов
