Задача 98166

Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Обход графов ] [ Шахматная раскраска ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

Автор: Токарев С.И.

Муравей ползает по проволочному каркасу куба, при этом он никогда не поворачивает назад.
Может ли случиться, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в каждой из остальных – по 20 раз?

Решение

Пометим вершины куба числами 1 и –1 в "шахматном" порядке. Предположим, что муравей так прополз по каркасу куба, что в одной вершине он побывал 25 раз, а в остальных – по 20 раз. Вычислим сумму чисел, пройденных муравьём (каждое число входит в эту сумму несколько раз). С одной стороны, она по модулю не превосходит 1, с другой стороны, она должна быть равна ±5. Противоречие.

Ответ

Не может.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4