|
|
 |
Условие
Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано,
что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Решение
Участки возрастания и убывания функции f(x) совпадают с участками возрастания и убывания функции где функции gi(x) имеют вид bi – |x – di|.
Рассмотрим какой-то участок [u, v] возрастания функции g, на котором она совпадает с одной из функций gi. Ясно, что длина этого участка равна
g(v) – g(u), то есть возрастанию на нём значения функции g. Аналогична ситуация с участками убывания.
Таким образом, разность указанных в условии сумм длин равна изменению значения функции g на отрезке [a, b], а оно по условию равно нулю.
Замечания
4 балла
