ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98148
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не менее чем 499 из этих треугольников.


Решение

  Пусть вершины K, L, M треугольника KLM лежат на сторонах AD, AB, BC квадрата ABCD и S – середина KM. Точки A и S лежат на окружности с диаметром KL, поэтому  ∠LAS = ∠LKS = 60°.  Аналогично  ∠LBS = 60°,  следовательно, S – вершина правильного треугольника, построенного на стороне AB.
  Итак, на границе любого вписанного в квадрат правильного треугольника лежит одна из четырёх точек, являющихся вершинами правильных треугольников, построенных на сторонах квадрата. Так как  1993 > 4·498,  то одна из этих точек принадлежит не менее чем 499 треугольникам.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1992/1993
Номер 14
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .