|
|
 |
Условие
Докажите, что a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0, если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию p + q + r = 0.
Решение 1
Заменяя при необходимости числа p, q, r на противоположные, мы можем свести дело к случаю, когда два из чисел p, q, r (пусть p и q) неотрицательны. По неравенству треугольника a²pq + b²qr + c²rp ≤ (b + c)²pq – (b²q + c²p)(p + q) = 2bcpq – b²q² – c²p² = – (bq – cp)² ≤ 0.
Решение 2
a²pq + b²qr + c²rp = a²pq – b²q(p + q) – c²p(p + q) = (a² – b² – a²)pq – b²q² – c²p² = – (b²q² – c²p² – 2bcpq cos α) = – d², где α – соответствующий угол в треугольнике со сторонами a, b, c, а d – длина третьей стороны в треугольнике, построенном по двум сторонам |bq|, |cp| и углу между ними, равному α или π – α, в зависимости от знаков p и q.
Замечания
3 балла
