|
|
 |
Условие
В наборе имеются гири массой 1 г, 2 г, 4 г, ... (все степени числа 2), причём среди гирь могут быть одинаковые. На две чашки весов положили гири так, чтобы наступило равновесие. Известно, что на левой чашке все гири различны. Докажите, что на правой чашке не меньше гирь, чем на левой.
Решение
Если на правой чашке есть две одинаковые гири, заменим их одной гирей удвоенного веса (при этом число гирь уменьшится). Так будем действовать до тех пор, пока на правой чашке не останется одинаковых гирь. После этого (в силу единственности двоичного разложения) наборы гирь на левой и правой чашке совпадут. Значит, в начале гирь на правой чашке было не меньше, чем на левой.
Замечания
1. Из доказательства видно, что если в условиях задачи на чашках находится одинаковое число гирь, то и наборы гирь на чашках совпадают.
2. 5 баллов.
