ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97898
Тема:    [ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
Название задачи: Сизифов труд.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На горе 1001 ступенька, на некоторых лежат камни, по одному на ступеньке. Сизиф берёт любой камень и переносит его на ближайшую сверху свободную ступеньку (то есть, если следующая ступенька свободна то на неё, а если занята, то на несколько ступенек вверх до первой свободной). После этого Аид скатывает на одну ступеньку вниз один из камней, у которых предыдущая ступенька свободна. Камней 500, и первоначально они лежали на нижних 500 ступеньках. Сизиф и Аид действуют по очереди, начинает Сизиф. Его цель – положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?


Решение

   Докажем, что Аид может действовать так, что после каждого его хода нижняя ступенька занята и нет двух свободных ступенек подряд. Действительно, если в такой позиции Сизиф снимает камень с n-й ступеньки, то после его хода (n+1)-я ступенька занята. Скатив с неё камень, Аид, очевидно, приходит в позицию с указанными выше свойствами.
   Но в любой такой позиции верхний камень лежит не выше 999-й ступеньки, следовательно, Сизиф никогда не поднимет камень выше 1000-й ступеньки.


Ответ

Может.

Замечания

1. 8 баллов.

2. См. также задачей М1008 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант весенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .