Задача 97829

Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Автор: Фомин С.В.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:
  а)  80 коп.;
  б)  одного рубля.

Решение

Обозначим цену (в копейках) шалтая s, цену болтая – b.

а) По условию  b > 175s – 125b > 0.  Число  175s – 125b  кратно 25, следовательно,  b ≥ 26.
Значит,  s > ⁵/₇ b > ¹²⁶/₇ = 18,  то есть  s ≥ 19,  и  3s + b ≥ 83.

б)  126b – 175s  кратно 7, поэтому  b = (126b – 175s) + (175s – 125b) ≥ 7 + 25 = 32,  откуда  s > ¹⁶⁰/₇ > 22,  то есть  s ≥ 23, 
и  3s + b ≥ 69 + 32 = 101.

Замечания

В 7-8 кл. предлагался только п. а) (3 балла), в 9-10 кл. – оба пункта (2 + 3 балла).

Пункт б) предлагался также на 50-й Ленинградской математической олимпиаде (1984, 6 кл., зад. 4).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1983/1984
Номер	5
вариант
Вариант	весенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1983/1984
Номер	5
вариант
Вариант	весенний тур, подготовительный вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	1
кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	11
Название	Оценки
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	11.10