Задача 79625
|
|
 |
Условие
Аладдин побывал во всех точках экватора, двигаясь то на восток, то на запад, а иногда мгновенно перемещаясь в диаметрально противоположную точку Земли. Докажите, что был отрезок времени, за которое разность расстояний, пройденных Аладдином на восток и на запад, не меньше половины длины экватора.Решение
Сначала "склеим" противоположные точки экватора. Тогда мы можем считать, что Аладдин двигался не по экватору, а по полученной после склейки окружности, ни в какой момент не телепортировался и побывал во всех её точках. Пусть 2πφ(t) — угловая координата Аладдина в момент времени t. Так как Аладдин ни в какой момент времени не телепортировался, то функцию φ можно выбрать непрерывной. Тогда нам достаточно доказать следующее утверждение:Дана непрерывная функция φ(t), причём {φ(t)} принимает все возможные значения. Докажите, что
