ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79335
Темы:    [ Доказательство от противного ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Раскраски ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.


Решение

Пусть A и B – множества соответственно синих и красных точек. Предположим утверждение задачи неверно. Тогда найдется такое натуральное число a, что A содержит лишь конечное число точек с координатами, кратными a. Также найдётся такое натуральное число b, что B содержит лишь конечное число точек с координатами, кратными b. Но тогда  AB  содержит лишь конечное число точек, с координатами, кратными ab. Противоречие, так как число таких точек бесконечно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 40
Год 1977
вариант
Класс 10
Тур 1
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .