ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78802
Темы:    [ Ортогональная проекция (прочее) ]
[ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве даны точка O и n попарно непараллельных прямых. Точка O ортогонально проектируется на все данные прямые. Каждая из получившихся точек снова проектируется на все данные прямые и т.д. Существует ли шар, содержащий все точки, которые могут быть получены таким образом?

Решение

Ответ: существует.
Лемма.Пусть l1 и l2 — две прямые, φ — угол между ними, Q — точка пространства. Тогда существует константа D такая, что для любой точки P $ \in$ l1 и её проекции P' на прямую l2 выполнено неравенство |QP'| ≤ |QP| cosφ + D.
Доказательство леммы. Пусть P0 — фиксированная точка на прямой l1. Тогда

| QP'| ≤ |QP0'| + | P0'P'| = |QP0'| + |P0P| cosφ ≤ |QP0'| + |QP0| cosφ + |QP| cosφ = D + |QP| cosφ.

Следствие. Существует такое число R = R(l1, l2, Q), зависящее от l1, l2 и Q, что если |QP| < R, то |QP'| < R.
Действительно, в качестве R достаточно выбрать $ {\frac{D}{1-\cos\varphi }}$. Обозначим через Oi проекцию точки O на прямую li. Пусть R1 = $ \max\limits_{i}^{}$| OOi|, R2 = $ \max\limits_{i,j}^{}$R(li, lj, O), R = max(R1, R2). Тогда, очевидно, шар радиуса R с центром в точке O — искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 34
Год 1971
вариант
Класс 10
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .