Задача 78779

Темы:    [ Пространственные многоугольники ] [ Сферы (прочее) ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3 Классы: 11

Условие

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

Решение

Отрезки, прилегающие к вершине A_i, где i = 1, 2,...n - 1, равны. По теореме о произведении отрезков секущих, проведённых из одной точки, отрезки тех же звеньев, лежащие внутри сферы, также равны между собой. А значит, все отрезки, лежащие внутри сферы, равны между собой, поскольку для соседних вершин один из отрезков является общим. Тогда получим, что они равны и для звеньев с вершиной A_n, тем самым по той же теореме и прилегающие к A_n отрезки этих звеньев равны между собой. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	1