Задача 78547

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Длины сторон (неравенства) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Решение

   Пусть O – центр пирога. Легко видеть, что окружность, построенная на BO как на диаметре, проходит через середины K и L сторон сторон AB и BC (см. рис.).

   Пусть P – точка, в которой пересекаются разрезы (или их продолжения), проведенные из точек K и L. Если точка P лежит внутри круга OKBL, то KP и LP не больше  BO = 1,  так что в точке P пересекаются сами разрезы, а не их продолжения. Таким образом, от пирога отрезан кусок KPLB.
   Пусть теперь P лежит вне круга. Тогда  ∠KPL < ∠KOL,  откуда легко следует, что  ∠OKP < ∠OLP,  то есть  α < β.  Остается заметить, что так как точки K, L, M идут по кругу, то не могут одновременно выполняться неравенства  α < β,  β < γ,  ...,  δ < α.  Это и означает, что хотя бы один кусок будет отрезан.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	11
Тур	2
задача
Номер	4