Задача 78077

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Итерации ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Последовательности и ряды функций ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ делят окружность радиуса 1 на шесть равных частей. Из A₁ провёден луч l₁ в направлении A₂, из A₂ – луч l₂ в направлении A₃, ..., из A₆ – луч l₆ в направлении A₁. Из точки B₁, взятой на луче l₁, опускается перпендикуляр на луч l₆, из основания этого перпендикуляра опускается перпендикуляр на l₅ и т. д. Основание шестого перпендикуляра совпало с B₁. Найти отрезок B₁A₁.

Решение

Пусть B₂, B₃, ..., B₇ – основания перпендикуляров, опущенных на l₆, l₅, ..., l₁. Длина каждого отрезка в последовательности A₁B₁, A₆B₂, A₅B₃, ..., A₁B₇ равна половине длины предыдущего плюс 1. Поэтому, если  A₁B₁ > 2,  длины отрезков в этой последовательности возрастают, а если  A₁B₁ < 2,  – убывают. По условию  A₁B₁ = A₁B₇,  поэтому  A₁B₁ = 2.

Ответ

B₁A₁ = 2.

Замечания

Общий случай см. в задаче 78092.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	19
Год	1956
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2