Задача 77978
|
|
 |
Условие
Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.
Решение
В наименьшее общее кратное чисел a и b входят только те простые делители, которые входят в a и b. Только они и могут входить в наибольший общий делитель суммы и наименьшего общего кратного. Поэтому достаточно проследить за степенью каждого простого множителя отдельно. Пусть a = pα... и
b = pβ..., причём α ≤ β. Тогда сумма чисел a и b имеет вид pα..., а их наименьшее общее кратное имеет вид pβ... . Поэтому рассматриваемый наибольший общий делитель имеет вид pα... . Наибольший общий делитель самих чисел a и b имеет такой же вид.
