ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73808
Темы:    [ Монотонность, ограниченность ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Попов В. А.

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f(x1) и f(x2).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x2) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x2) ≤ 1,9x?

Решение

а) Функция, удовлетворяющая условию задачи, монотонно возрастает. В самом деле, если x2 x1 и x2 1 , то f(x2) f(x1)+f(x2-x1) и f(x2-x1) 0 ; следовательно, f(x2) f(x1) . Поэтому если <x 1 , поскольку f(1)=1 , имеем

f(x) 1 2x.


Пусть теперь 0<x . Возьмем такое натуральное n , чтобы <nx 1 (понятно, что это всегда можно сделать). Легко доказать (по индукции), что если x 0 и nx 1 , то f(nx) nf(x) . Для <nx 1 уже доказано, что f(nx) 2 · nx .

Поэтому nf(x) f(nx) 2 · nx , откуда f(x) 2x и для 0<x .

Осталось только выяснить, что будет в нуле. Возьмем 0<x1 1 ; тогда

f(x1)=f(0+x1) f(0)+f(x1).


Но по определению f(0) 0 , значит, f(0)=0 .

б) Ответ: нет, не верно.

Приведем пример. Зададим функцию следующим образом:

f(x)=


Если 1 x1 x2 0 и x1+x2 1 , то x2 и f(x2)=0 .

Следовательно, f(x1+x2) f(x1)+f(x2) и рассматриваемая функция удовлетворяет требованиям задачи.

В то же время

f ( )=1> 1,9 · .


Ответ

б) нет, не верно.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М273

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .