Задача 73743

Темы:    [ Средние величины ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Пеллер В.Б.

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x₁, x₂, x₃, ..., x₉, x₁₀ равна 1. Какой  а) наибольшей;  б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x₁,  ½ (x₁ + x₂),  ⅓ (x₁ + x₂ + x₃),  ...,  ¹/₁₀ (x₁ + x₂ + ... + x₁₀)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?

Решение

  Обозначим через y_k число  ¹/_k (x₁ + x₂ + ... + x_k),  Если прибавить ко всем x_i некоторое число a, то вместо чисел y_i мы получим числа  y_i + a.  Максимальные разности для чисел y_i и для чисел  y_i + a совпадают. Поэтому от набора {x_i} с помощью подходящего выбора a можно перейти к такому набору {X_i}, что наименьшие X_i равны нулю, а наибольшие – единице. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие наборы. Аналогично, если заменить числа x_i на  1 – x_i,  то  y_i заменятся на  1 – y_i.  Следовательно, от набора {x_i} можно перейти к набору {1 – x_i}:  максимальные разности между числами y_i и числами  1 – y_i  одинаковы.
  Пусть y_k – наименьшее, а y_m – наибольшее из чисел {y_i}. Если  k < m,  то
y_m – y_k = ^k/_m·y_k + ¹/_m (x_k+1 + ... + x_m) – y_k = ¹/_m (x_k+1 + ... + x_m) – (1 – ^k/_m) y_k ≤ 1 – ^m–k/_m ≤ 1 – ¹/_n.
  Если же  m < k,  то  y_m – y_k = ^k–m/_k·y_m – ¹/_k (x_m+1 + ... + x_k) ≤ 1 – ^k–m/_k ≤ 1 – ¹/_n.  Следовательно, максимальная разность не больше  1 – ¹/_n.  Набор с такой разностью легко указать:  x₁ = 0,  x₂ = x₃ = ... = x_n = 1.

  Оценим, чему равна максимальная разность, если в наборе {x_i}  x_k = 1,  x_m = 0.  Будем считать, что  k < m  (если это не так, то от набора {x_i} перейдем к набору {1 – x_i}).  Если  k = 1,  то разность не меньше ¹/_n. Действительно, тогда  y₁ = 1,  а  y_n = ¹/_n (x₁ + ... + x_n) ≤ ^n–1/_n,  поскольку все
x_i ≤ 1,  а один из них равен нулю.
  Пусть  k > 1.  Тогда  Δ₁ = y_k – y_k–1 = ¹/_k–1 (1 – y_k),  Δ₂ = y_m–1 – y_m = ¹/_m·y_m–1,  и если  y_k ≤ y_m–1,  то  Δ₂ ≥ ¹/_m·y_k. Наибольшее из чисел Δ₁, Δ₂ не меньше ¹/_k+m–1, поскольку  1 ≤ (k – 1)Δ₁ + mΔ₂ ≤ (k + m – 1)M,  где  M = max{Δ₁, Δ₂}.  Если же  y_k > y_m–1,  то рассмотрим еще разность
Δ₃ = y_k – y_m = y_k – y_m–1 + ¹/_m·y_m–1.   mΔ₃ + (k – 1)Δ₁ = (m – 1)(y_k – y_m–1) + 1 > 1,  откуда  max{Δ₁, Δ₃} ≥ ¹/_k+m–1.
  Итак, мы доказали, что разность не меньше ¹/_k+m–1. Поэтому для произвольного набора она не меньше ¹/_2(n–1)  (m ≤ n,  k ≤ n – 1).  Такую разность реализовать можно: достаточно, например, рассмотреть набор  x₁ = x₂ = ... = x_n–2 = ½,  x_n–1 = 1,  x_n = 0.  Итак, наименьшая разность равна ¹/_2(n–1).

Ответ

а) 0,9;   б) ¹/₁₈;   в)  ^n–1/_n,  ¹/_2(n–1).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М208