Задача 73708

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Лиманов Л.Г.

В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

Решение

  Общая сумма всех стоящих в квадрате чисел равна  17·16 : 2 = 34·4;  суммы чисел, стоящих в строках, равны между собой, следовательно, сумма чисел, стоящих в каждой строке, столбце или диагонали, равна 34.
  Поэтому нам нужно доказать, что в квадратах, удовлетворяющих нашему условию, сумма чисел, симметричных относительно центра, равна 17. Будем считать, что 1 стоит в верхнем левом углу, а 16 – в правом нижнем, тогда два других числа на этой же диагонали – обозначим их через a и a' – удовлетворяют равенству  a + a' = 17.  Условимся всегда число, дополняющее число x до 17, обозначать через x':  x' = 17 – x.
  Воспользуемся обозначениями, приведенными на рисунке (S_i обозначают суммы чисел в соответствующих клетках).

  Сложив суммы чисел в двух средних столбцах, двух средних строках и дважды по второй диагонали, получим
S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + 2(b + e) + 4(c + d) = 34·6.
  Сложив суммы чисел в первой и четвёртой строке и в первом и четвёртом столбцах, получим  S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + 2(17 + b + e) = 34·4.
  Вычитая, получим, что  4(c + d) = 34·2.  Значит,  c + d = 17,  а поэтому и  b + e = 17.
  Перейдём теперь к следующему рисунку.

  Ясно, что  y ≠ x',  поскольку   b ≠ 16.  Заметим, что x' или y' не могут попасть на одноцветные клетки; если эти клетки – красные, то, складывая числа в первой строке и первом столбце, мы получим, что  34·2 = 3·17 + 2,  а если эти клетки – жёлтые, то, складывая числа в первой строке и четвёртом столбце, мы получим, что  34·2 = 3·17 + 2b  – оба эти равенства неверны.
  Пусть x'  стоит в красной клетке (случай, когда в нее попадает y', разбирается аналогично), второе число в красной клетке обозначим
через z. Тогда, складывая число в первой строке и в первом столбце, получим  34 · 2 = 2 + 34 + y + z,  откуда   y + z = 32,  что невозможно.
  Таким образом, ни x', ни y' не может попасть в красную клетку, а вместе они не могут попасть в жёлтые клетки. Значит, либо x', либо y' стоит на месте u или v. Пусть это x'  (случай, когда туда попадает y', разбирается аналогично). Но  x' ≠ u,  поскольку   a ≠ c,  значит,  x' = v,  тогда  y' = u.
  Аналогично доказывается утверждение задачи для чисел, стоящих в жёлтых и красных клетках.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	11
Задача
Номер	М173