|
|
 |
Условие
В любой арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.
Решение
Заметим, что если первый член a и разность d прогрессии имеют общий наибольший делитель q > 1, то на q можно разделить все члены прогрессии. Достаточно решить задачу для этой новой прогрессии, поскольку если какие-то члены новой прогрессии имеют одни и те же простые множители, то и после умножения на q они будут иметь одни и те же простые множители. Итак, мы можем считать, что a и d взаимно просты. Поэтому существует такое k, что ak – 1 делится на d (см. задачи 73597 и 60779).
Следовательно, при любом целом m > 0 akm+1 – a = a(ak – 1)(ak(m–1) + ak(m–2) + ... + 1) делится на d, то есть akm+1 – a = nd, где n – целое число. Таким образом, для каждого натурального m число akm+1 = a + nd входит в нашу прогрессию, то есть существует бесконечно много членов прогрессии, являющихся некоторой степенью её первого члена a. Ясно, что все эти члены имеют одни и те же простые множители.
