|
|
 |
Условие
Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)
Решение
Пусть число команд равно N. Представим сначала результаты турнира в виде турнирной таблицы N×N. На пересечении i-й строки и j-го столбца поставим число aij очков, набранных i-й командой в матче с j-й командой. Будем считать, что команда в матче "с самой собой" набрала 0 очков, то есть на диагонали будут стоять нули.
Заметим, что aij + aji = 2 при i ≠ j.
Каждой команде в турнирной таблице соответствуют строка и столбец. Число очков, набранных i-й командой в матчах с группой команд с номерами j1, ..., jk, равно aij1 + ... + aijk.
Теперь мы можем сформулировать по-новому задачу на языке таблиц.
Пусть квадратная таблица N×N, состоящая из целых чисел aij, удовлетворяет следующим двум условиям:
1) все числа aii, стоящие на её диагонали, чётны, и сумма aij + aji каждых двух чисел, симметричных относительно этой диагонали, тоже чётна;
2) для каждой группы столбцов найдётся такая строка, что сумма чисел на
пересечении этой строки со столбцами этой группы нечётна.
Нужно доказать, что N чётно.
Допустим, что существует таблица N×N с нечётным N, удовлетворяющая условиям 1) и 2).
Заменим все чётные числа в таблице на 0, а нечётные – на 1. В полученной таблице условия 1) и 2) также выполнены.
Введём следующие преобразования таблиц.
Преобразование I. Меняем местами i-ю строку с j-й и i-й столбец с j-м.
Преобразование II. i-й столбец заменяем на сумму i-го и j-го столбцов (по модулю 2), а затем i-ю строку на сумму i-й и j-й строк.
Заметим, что указанные преобразования сохраняют свойства 1) и 2). Для преобразований I это очевидно. Докажем это для преобразования II.
Если рассматриваемая группа столбцов не содержит i-го столбца и можно указать k-ю строку, удовлетворяющую условию 2), где k ≠ i, то и после преобразования k-я строка будет ему удовлетворять.
Если же эту группу столбцов обслуживает только i-я строка, то для j-й строки соответствующая сумма чётна. Тогда в преобразованной таблице сумма для i-й строки по-прежнему нечётна.
Пусть i-й столбец входит в рассматриваемую группу. Если в нее не входит j-й столбец, то надо взять строку, "обслуживающую" группу, пополненную j-м столбцом, а если входит, то, наоборот, его надо убрать.
Рассмотрим последний, N-й столбец этой таблицы. Согласно свойству 2) для него найдётся такая строка, что на их пересечении стоит единица: akN = 1 и, следовательно, aNk = 1.
Сделаем теперь преобразование I: поменяем местами k-ю строку с (N–1)-й и k-й столбец с (N–1)-м.
В результате таблица будет иметь следующий вид:
Из полученной таблицы (N–2)×(N–2) аналогично получим таблицу (N–4)×(N–4), и так далее. В конце концов мы получим таблицу 1×1, удовлетворяющую условиям 1) и 2). Этого, однако, не может быть, так как для таблицы 1×1 оба условия одновременно не выполняются. Противоречие.
