ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73681
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Раскраски ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Романов А.

а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника?

в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.


Решение

  а) Среди семи вершин семиугольника A0A1A2A3A4A5A6 найдутся две соседние вершины с фишками одного цвета (если бы цвета чередовались, то многоугольник имел бы чётное число сторон). Пусть, например, в вершинах A1 и A2 стоят белые фишки.
  Существуют три вершины (A0, A3 и A5), каждая из которых образует вместе с вершинами A1 и A2 равнобедренный треугольник. Если в одной из них стоит белая фишка, то соответствующий треугольник – искомый. Если же во всех трёх этих вершинах черные фишки, то искомый треугольник – A3A0A5.

  б) См. в).

  в) Очевидно, что утвержение неверно для  n = 3, 4.  Оно неверно также для  n = 6, 8  (см. рис.). Докажем, что оно верно для всех  n ≥ 9.
  Если цвета фишек чередуются, то уже среди пяти последовательных вершин встретится требуемый равнобедренный треугольник.   Пусть для некоторой расстановки фишек в вершинах правильного n-угольника утверждение неверно и в каких-то двух соседних вершинах стоят фишки одного цвета. Можно считать, что вершины A4 и A5 – "белые". Тогда вершины A3 и A6 – "чёрные". Из равнобедренного треугольника A3A6A9 заключаем, что A9 – "белая". Из рассмотрения треугольников A1A5A9 и A5A7A9 следует, что A1 и A7 – "белые". Но тогда A2A5A7 – "белый" равнобедренный треугольник. Противоречие.


Ответ

б)  Неверно.   в)  Для  n = 5,  n = 7  и  n ≥ 9.

Замечания

1. Рассуждение п. а) годится для любого правильного n-угольника с нечётным  n ≥ 5.  В частности, для  n = 13  (такая задача давалась на Московской математической олимпиаде – см. зад. 78806).

2. Можно показать, что при любом разбиении множества  {1, 2, ..., 9}  на два подмножества хотя бы в одном из подмножеств встретятся три числа, из которых одно равно полусумме двух других. В п. в) мы доказали это при дополнительном предположении, что 4 и 5 принадлежат одному подмножеству. Другие случаи разбираются аналогично.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 6
Задача
Номер М146

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .