ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73670
Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
[ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Маресин В.

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + π/n,  синуса числа
x + /n,  ..., наконец, синуса числа  x + (n – 1)π/n  равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.


Решение

  sin nx = sin x·Un–1(cos x),  где Un–1 – многочлен Чебышёва (см. задачу 61099). Из рекуррентных соотношений задачи 61100 следует, что Un–1 – многочлен степени  n – 1  с первым коэффициентом 2n–1.
  Положим     Сгруппируем попарно члены вида     и     где   0 < k < n/2.  Если n чётно, то в произведении останется ещё член  
  Преобразуем попарные произведения:

      где di – некоторые константы.
  Итак,  f(x) = Dn(cos x),  где Dn(x) – некоторый многочлен степени  n – 1  с первым коэффициентом 1.
  Осталось доказать, что  Un–1(x) = 2n–1Dn(x)  (в частности, отсюда будет следовать, что константа cn в условии равна 21–n).
  Рассмотрим многочлен  F(x) = Un–1(x) – 2n–1Dn(x).  Его степень меньше  n – 1,  так как коэффициенты при xn–1 у многочленов Un–1(x) и 2n–1Dn(x) равны.
  Рассмотрим точки  xk = – πk/n  (k = 1, ..., n – 1)  и пусть  tk = cos xk.  Ясно, что  f(xk) = 0,  и потому  Dn(tk) = 0;  кроме того,  sin (nxk) = 0,
а  sin xk ≠ 0,  – значит,  Un–1(cos xk) = Un–1(tk) = 0.
  Заметим, что все точки tk различны, так как  cos x  возрастает на отрезке  [– π, 0].
  Итак, многочлен F(x) обращается в нуль в  n – 1  точке  t1, t2, ..., tn–1  и, значит, F(x) – тождественный нуль. Таким образом,  Un–1 = 2n–1Dn,  то есть  

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М135

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .