|
|
 |
Условие
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
Решение
Пусть a, b, c, d, e – данные числа. Тогда (a + b + c – d – e)(a + c + d – b – e) = a² – (b + e – c – d)² ≤ a².
Аналогично
(b + c + a – d – e)(b + d + e – c – a) ≤ b².
(c + d + b – e – a)(c + e + a – d – b) ≤ c².
(d + e + c – a – b)(d + a + b – e – c) ≤ d².
(e + a + d – b – c)(e + b + c – a – d) ≤ e².
Осталось перемножить эти неравенства.
Замечания
Справедливо более общее утверждение:
если даны 2n + 1 положительных чисел, причём разность между суммой любых n + 1 чисел и суммой n остальных положительна, то произведение B всех таких разностей и произведение A всех данных чисел связаны неравенством
