Задача 73600

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Сойфер А.Л.

а) Пусть 0 < k < 1. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отметим точки E, А и G таким образом, что AE : EB = BF : FC = CG : GA = k. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми АF, BG и CE, к площади треугольника АВС (см. рис.). б) Разрежьте треугольник шестью прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

Решение

а) Обозначим площадь треугольника с вершинами X, Y, Z через s(XYZ) . Пользуясь тем, что отношение треугольников с одинаковыми высотами (или с одинаковыми основаниями) равно отношению оснований (соответственно отношению высот), нетрудно доказать, что

Точно так же можно доказать, что
s(ALB)=s(CMB)= s(ABC).> Поэтому
= 1 - = = .

б) Заметим, что при k = это отношение равно и каждый из трех отрезков AF , BG , CE разбит двумя другими в отношении 3 : 3 : 1 , так что если провести через точки M, K, L еще три прямые, соответственно параллельные этим отрезкам, то каждая из сторон треугольника ABC будет разбита в отношении 2 : 1 : 1 : 2.
Теперь уже нетрудно из 13 кусков, на которые разрезан треугольник ABC, собрать 7 равных треугольников (один из них состоит из единственного куска KLM ; рис. ниже).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М65