|
|
 |
Условие
При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?
Решение
Покажем, что это можно сделать тогда и только тогда, когда n > 3 и одно из чисел n или n + 1 кратно 3. Необходимость этих условий очевидна, поскольку общий вес гирь 1 + 2 + 3 + ...+ n = ½ n(n + 1) должен делиться на 3.
Для доказательства достаточности заметим сначала, что разбиение возможно
при n, равном 5, 6, 8 и 9 (это показано на рисунке). Все остальные интересующие нас значения n получаются из этих четырёх прибавлением некоторого количества шестёрок, а любую группу из шести последовательных целых чисел a + 1, ..., a + 6 легко разбить на три пары чисел, дающих равные суммы: {a + 1, a + 6}, {a + 2, a + 5},
{a + 3, a + 4}.
Ответ
При n > 3, n ≡ 0, 2 (mod 3).
