ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66250
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Радикальная плоскость ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ягудин М.

Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1, O2, касающиеся ребра AB в точках T1, T2. Плоскость πAB проходит через середину отрезка T1T2 и перпендикулярна O1O2. Аналогично определяются плоскости πAC, πBC, πAD, πBD, πCD. Докажите, что все эти шесть плоскостей проходят через одну точку.

Решение

Рассмотрим четыре сферы, для которых данные окружности являются большими кругами. Тогда, например, плоскость πAB будет радикальной плоскостью двух сфер, касающихся ребра AB, следовательно, она проходит через радикальный центр всех сфер. Остальные плоскости также проходят через эту точку.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
тур
задача
Номер 23

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .