|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC прямая m касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр I окружности ω и перпендикулярные AI, BI, CI, пересекают прямую m в точках A', B', C' соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
Решение
При полярном преобразовании относительно ω прямые BC, CA, AB, m перейдут в точки A1, B1, C1, M касания их с этой окружностью. Прямая IA' перейдёт в бесконечно удаленную точку перпендикулярной ей прямой IA, следовательно, точка её пересечения с m перейдёт в прямую, проходящую через M и параллельную IA. Поскольку IA ⊥ B1C1, полюсом прямой AA' будет проекция M на B1C1. Аналогично полюсами прямых BB', CC' будут проекции M на A1C1 и A1B1 соответственно. Эти три точки лежат на одной прямой по теореме Симсона (см. задачу 52421), поэтому их поляры пересекаются в одной точке.
