Задача 66220

Темы:    [ Треугольник (построения) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Метод ГМТ ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Автор: Тригуб А.

Внутри остроугольного треугольника ABC постройте (с помощью циркуля и линейки) такую точку K, что  ∠KBA = 2∠KAB  и  ∠KBC = 2∠KCB.

Решение

  Пусть окружность ω с центром K и радиусом KB пересекает AB и BC в точках P и Q соответственно, а T – середина дуги ABC описанной окружности. Тогда   ∠KPB = ∠KBP = 2∠KAP,  следовательно,  ∠KAP = ∠PKA  и  AP = PK = KB.  Аналогично  CQ = QK = KB.  Поскольку
AP = CQ,  AT = CT  и  ∠PAT = ∠QCT,  треугольники TAP и TCQ равны, то есть  ∠TPB = ∠TQB  и точка T лежит на ω. Значит, центр K этой окружности лежит на серединном перпендикуляре к BT. Кроме того, из условия следует, что  ∠AKC = ^3∠B/₂,  то есть K лежит на соответствующей дуге (см. рис.).

  Докажем, что построенная таким образом точка K удовлетворяет условию. Поскольку в этом случае окружность ω проходит через точку T, то
∠PTQ = ∠PBQ = ∠B = ∠ATB.  Следовательно,  ∠ATP = ∠CTQ,  и треугольники ATP и CTQ равны по стороне и двум углам. Значит,  AP = CQ.
  Если, например,  AP > PK = KB,  то  ∠PKA > ∠PAK,  ∠KPB > ∠KPB > 2∠BAK,  ∠KBC > 2∠KCB  и  ∠AKC < ^3∠B/₂,  что противоречит построению точки K.

  Аналогично при  AP < PK  получаем  ∠AKC > ^3∠B/₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	17