Задача 66219

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Рябов П.

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты треугольника ABC. Педальная окружность (описанная окружность педального треугольника) точки D совпадает (см. задачу 56954 а) с педальной окружностью изогонально сопряженной точки D', которая является вершиной параллелограмма ACBD' (см. задачу 52358) Следовательно, C' – проекция D' на AB, то есть точка, симметричная C₁ относительно середины AB. Аналогично A', B' симметричны A₁ и B₁ относительно середин соответствующих сторон. Значит, AA', BB' и CC' пересекаются в точке, изотомически сопряженной ортоцентру треугольника (см. задачу 56922).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2017
тур
задача
Номер	16