Задача 66181
|
|
 |
Условие
Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?
Решение
Обозначим углы двух соседних треугольников α, β, γ, α', γ' (см. рис). Прямые BC и AC не параллельны, поэтому α' ≠ γ. Но треугольники равны, значит, α' = α, γ' = γ. Отсюда ясно, что расположение углов соседнего, а значит, и всех последующих треугольников определено однозначно. Обойдя по кругу, увидим, что β = γ. Поэтому все углы пятиугольника равны 180° – γ, а все стороны равны, так как лежат в равных треугольниках против равных углов.
Ответ
Обязательно.
Замечания
4 балла
